SPI場合の数・確率・組み合わせの解き方|頻出パターン

この記事でわかること

• SPI場合の数の公式(順列・組み合わせ)と、どちらを使うかの見分け方
• 場合の数で落とす3つの原因と、書き出しで防ぐコツ
• 頻出8パターン(隣り合う・少なくとも・円順列・同じもの・グループ分け・経路・支払い・整数)と確率の練習問題12問
• 受検日までの残り日数別の勉強法

執筆:テストビズ運営事務局
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最終更新日:2026年9月5日

SPI場合の数は、「並べるなら順列(P)、選ぶだけなら組み合わせ(C)」の見分けと、公式で数えにくいときの「書き出し」ができれば、1問30秒〜1分で解ける単元です。
出題パターンは8つ程度に絞れるため、損益算と並んで短期間で得点源にしやすい分野です。
一方で、運営事務局の模擬演習では「順列と組み合わせを逆にする」「重複して数える」誤答が繰り返し出ています。
この記事では、場合の数の公式とコツ、頻出パターン別の練習問題、そして場合の数を土台にする確率まで、まとめて解説します。

SPIの場合の数とは?公式は順列と組み合わせの2つ

SPIの場合の数とは、条件を満たす並べ方や選び方が何通りあるかを数える問題で、公式は「順列nPr(並べる)」と「組み合わせnCr(選ぶ)」の2つだけです。

場合の数とは、「起こりうるすべてのケースの数」を求める問題です。
公式は次の2つで、どちらを使うかは「順番が関係するか」で決まります。

公式	式	意味	例
順列 nPr	n×(n−1)×…を r個掛ける	異なるn個からr個を選んで並べる	5人から3人を選んで1列に並べる → 5×4×3=60
組み合わせ nCr	nPr ÷ r!	異なるn個からr個を選ぶ(順番なし)	8人から3人の委員を選ぶ → (8×7×6)÷(3×2×1)=56

r!(階乗)は、r×(r−1)×…×1のことです。
組み合わせは「順列を、選んだr個の並べ方r!で割ったもの」と理解しておくと、公式を忘れても導けます。

順列と組み合わせの見分け方は「入れ替えて別物になるか」

順列か組み合わせかで迷ったら、選んだものを入れ替えて別のケースになるかを考えてください。

問題文の表現	入れ替えると	使う公式
1列に並べる、順位をつける、役職(部長・副部長)を決める	別のケースになる	順列 P
選ぶ、グループを作る、同時に取り出す	同じケースのまま	組み合わせ C
2桁の整数を作る	十の位と一の位を入れ替えると別の数	順列 P(ただし0の扱いに注意)

「委員長と副委員長を1人ずつ選ぶ」は、AとBを入れ替えると役職が変わるので順列です。
「委員を2人選ぶ」は、AとBを入れ替えても同じ2人なので組み合わせです。
同じ「選ぶ」という言葉でも、役職がつくかどうかで公式が変わります。

場合の数はどの形式で出る?WEBテストでの出方

場合の数はSPIのすべての受検形式で出題されます。

受検形式	答え方	出方の特徴
テストセンター	選択式	1つの設定から「並べ方」「選び方」「確率」と続く組問題が多い
WEBテスティング(自宅受検)	数値を直接入力	選択肢から逆算できないため、重複や数え漏れがそのまま失点になる
ペーパーテスティング	マークシート	順列・組み合わせの基本問題が中心

WEBテスト(WEBテスティング)の場合の数・組み合わせは入力式なので、「答えが選択肢にない」という気づきが使えません。
書き出しで検算する習慣が、テストセンター以上に重要になります。

SPI場合の数で落とす3つの原因|模擬演習の誤答から

場合の数の誤答は「PとCの取り違え」「重複して数える」「条件つきの問題で場合分けを忘れる」の3つに集中し、いずれも小さい数で書き出して確かめる習慣で防げます。

運営事務局が見てきた実例:模擬演習で多い誤答3パターン

運営事務局の模擬演習で、場合の数の誤答を分類すると次の3つに集中しています。
【要確認:演習ログの集計値を反映】

誤答パターン	起きる問題	直し方
順列と組み合わせの取り違え	「3人の委員を選ぶ」を5P3=60と答える(正解は5C3=10)	入れ替えて別物になるかを確認
重複して数える	「3人ずつ2組に分ける」で6C3=20と答える(正解は10)	区別のない組は組数の階乗で割る
場合分けの漏れ	「少なくとも1人」を1ケースしか数えない	余事象(全体−条件を満たさない数)で解く

所要時間は、公式の使い分けができている受検者で1問30〜60秒です。
【要確認:実測値】
時間がかかる受検者の多くは、計算ではなく「どちらの公式か」で止まっています。

コツ:迷ったら小さい数で書き出して確かめる

場合の数の最大のコツは、公式に自信がないときに「人数を3人に減らして全部書き出す」ことです。
たとえば「3人から2人選ぶ」なら、AB・AC・BCの3通りと書き出せます。
3C2=3と一致するので、組み合わせで正しいと確認できます。
3P2=6なら、AB・BA・AC・CA・BC・CBで、選び方ではなく並べ方を数えていると気づけます。
本番でも10秒あれば書き出せるので、公式の暗記より「書き出して確かめる」を優先してください。
書き出しの技術は推論でも同じように使います。
推論の書き出し方は「SPI推論の解き方とコツ」で解説しています。

SPI場合の数の頻出8パターンと練習問題

頻出パターンは、順列・組み合わせの基本に加えて「隣り合う」「少なくとも」「円順列」「同じものを含む」「グループ分け」「経路」「支払い」「整数」の8つで、それぞれ数え方の型が決まっています。

以下はすべて運営事務局が作成したオリジナル問題です。
出題形式を再現していますが、本番の問題そのものではありません。

パターン1:順列の基本

練習問題1
5人から3人を選んで1列に並べる。並べ方は何通りか。

解き方
順番が関係するので順列。
5×4×3=60。

答え:60通り

パターン2:組み合わせの基本

練習問題2
8人から3人の委員を選ぶ。選び方は何通りか。

解き方
順番が関係しないので組み合わせ。
(8×7×6)÷(3×2×1)=336÷6=56。

答え:56通り

パターン3:隣り合う条件

練習問題3
A、B、C、D、Eの5人が1列に並ぶ。AとBが隣り合う並べ方は何通りか。

解き方
AとBをひとまとめにして「1人」と考えると、4人の並べ方は4×3×2×1=24。
AとBの中での並び(AB・BA)が2通りあるので、24×2=48。

答え:48通り

「隣り合う」は、まとめて1つと数えてから、まとめた中の並びを掛けます。
「隣り合わない」は、全体(5!=120)から隣り合う48を引いて72通りです。

パターン4:少なくとも1つ(余事象)

練習問題4
男性4人、女性3人の7人から3人を選ぶ。少なくとも1人が女性である選び方は何通りか。

解き方
「少なくとも1人」は、全体から「女性が0人(全員男性)」を引く。
全体=7C3=(7×6×5)÷(3×2×1)=35。
全員男性=4C3=4。
35−4=31。

答え:31通り

「女性1人」「2人」「3人」と分けて足しても解けますが、余事象で引くほうが速く、漏れも出ません。

パターン5:円順列

練習問題5
6人が円卓に座る。座り方は何通りか。

解き方
円順列は、1人を固定して残りを並べる。
(6−1)!=5×4×3×2×1=120。

答え:120通り

パターン6:同じものを含む順列

練習問題6
A、A、A、B、Bの5文字を1列に並べる。並べ方は何通りか。

解き方
5!を、同じ文字の並べ方3!と2!で割る。
120÷(6×2)=10。

答え:10通り

パターン7:グループ分け(区別のない組)

練習問題7
6人を3人ずつの2組に分ける。分け方は何通りか。

解き方
6人から3人を選ぶと6C3=20。
ただし、選んだ3人と残った3人は入れ替えても同じ分け方なので、2で割る。
20÷2=10。

答え:10通り

「A班・B班」のように組に名前がある場合は割らずに20通りです。
組に区別があるかどうかを必ず確認してください。

パターン8:経路(最短経路)

練習問題8
碁盤の目の道路で、左下から右上まで、右に3区画・上に2区画進む。最短経路は何通りか。

解き方
右(→)3回と上(↑)2回、合計5回の移動のうち、どの2回を「上」にするかを選ぶ。
5C2=10。

答え:10通り

パターン9:支払い方(硬貨)

練習問題9
100円硬貨3枚と50円硬貨2枚がある。これらの一部または全部を使って支払える金額は何通りか。

解き方
100円は0〜3枚、50円は0〜2枚。
金額は50円刻みで0円から400円まで。
50円2枚=100円1枚と同じ金額になるため、組み合わせの数(4×3=12)ではなく、実際の金額を数える。
0、50、100、150、200、250、300、350、400の9通りから、0円を除いて8通り。

答え:8通り

支払い問題は「同じ金額になる払い方」があるため、公式ではなく金額を書き出すのが確実です。

パターン10:整数を作る

練習問題10
0、1、2、3、4の5枚のカードから2枚を選んで2桁の整数を作る。何通りできるか。

解き方
十の位は0を使えないので1〜4の4通り。
一の位は残り4枚のどれでもよいので4通り。
4×4=16。

答え:16通り

十の位に0を置けないという条件を先に処理するのが型です。

SPI確率の解き方|場合の数をそのまま使う

確率は「条件を満たす場合の数÷すべての場合の数」で求め、場合の数が数えられれば計算は割り算1回です。

SPIの確率は、場合の数の応用として組問題で出ることが多い単元です。

練習問題11:サイコロ2個

サイコロを2個同時に投げる。出た目の和が7になる確率はいくらか。

解き方
すべての場合=6×6=36。
和が7になる組=(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)の6通り。
6÷36=1/6。

答え:1/6

練習問題12:少なくとも1個(余事象)

赤玉3個、白玉2個が入った袋から同時に2個取り出す。少なくとも1個が赤である確率はいくらか。

解き方
すべての場合=5C2=10。
「赤が0個(2個とも白)」=2C2=1。
1−1/10=9/10。

答え:9/10

確率でも「少なくとも」は余事象です。
1から「条件を満たさない確率」を引くだけなので、場合分けより速く解けます。
割合の計算そのものが不安な人は「SPI損益算・速度算・割合の解き方」で割合の基本を確認してください。

受検日までの場合の数・確率の勉強法

勉強法は「PとCの見分け→頻出8パターンの型→確率の余事象」の順で、残り日数が少ない人は基本・隣り合う・少なくとも・グループ分けの4パターンに絞ります。

受検までの残り日数	やること	目安
3日以内	PとCの見分け方と、練習問題1〜4・7。確率は余事象だけ	合計10問、1時間
1週間	頻出8パターンすべてと確率。1問ごとに時間を計る	1日10問、30分
1か月以上	問題集の該当章を3周。2周目以降は間違えた問題だけ	週2回、各30分

場合の数は、公式を覚えるだけでは点にならず、「どの型か」を見抜く練習が必要です。
1問解くごとに「この問題は8パターンのどれか」を書き添えると、型の判断が速くなります。
SPI全体の勉強計画は「SPI対策の始め方|出題範囲と勉強法」、非言語全体の優先順位は「SPI非言語の対策|頻出分野と公式まとめ」、時間配分は「SPIの時間配分と1問あたりの目安」で解説しています。

よくある質問(FAQ)

SPIの場合の数とは、どのような問題ですか?

SPIの場合の数とは、条件を満たす並べ方や選び方が何通りあるかを数える非言語の問題です。
公式は「順列nPr(順番をつけて並べる)」と「組み合わせnCr(順番なしで選ぶ)」の2つで、どちらを使うかは「選んだものを入れ替えて別のケースになるか」で判断します。
頻出パターンは、基本の順列・組み合わせに加えて、隣り合う条件・少なくとも1つ・円順列・同じものを含む順列・グループ分け・最短経路・支払い方・整数を作る問題の8つです。
確率の問題も、場合の数を土台にして出題されます。

場合の数の公式は、順列と組み合わせのどちらを使えばよいですか?

「並べる・順位をつける・役職を決める」なら順列、「選ぶだけ・グループを作る・同時に取り出す」なら組み合わせです。
迷ったときは、選んだ2つを入れ替えて別のケースになるかを考えてください。
委員長と副委員長のように役職がつけば入れ替えると別物なので順列、委員2人のように役職がなければ同じなので組み合わせです。
それでも迷う場合は、人数を3人に減らして全部書き出し、どちらの公式と一致するか確かめるのが確実です。

場合の数のコツを1つだけ挙げるなら何ですか?

「少なくとも」は余事象で解く、です。
「少なくとも1人が女性」「少なくとも1個が赤」は、全体から「1人も(1個も)含まない場合」を引くだけで求まります。
場合分けして足す方法は、漏れと重複が出やすく、時間もかかります。
運営事務局の模擬演習でも、この1点を直すだけで正答率と所要時間の両方が改善する受検者が多くいます。

WEBテストの場合の数・組み合わせは、テストセンターと違いますか?

考え方は同じですが、WEBテスティング(自宅受検)は数値を直接入力する形式です。
選択肢がないため、重複して数えたり数え漏らしたりすると、そのまま誤答になります。
テストセンターでは選択式で、1つの設定から「並べ方」「選び方」「確率」と続く組問題が多く出ます。
どちらの形式でも、小さい数で書き出して検算する習慣が失点を防ぎます。

場合の数は捨ててもいいですか?

おすすめしません。
場合の数は公式2つ・頻出パターン8つで、損益算と同じく数日〜1週間で得点源にできる単元です。
確率の問題も場合の数の上に成り立つため、ここを捨てると確率もまとめて落とします。
受検が3日以内なら、基本・隣り合う・少なくとも・グループ分けの4パターンに絞って練習してください。

場合の数・確率は1問何秒で解けばよいですか?

1問30秒〜1分が目安です。
運営事務局の模擬演習では、公式の使い分けができている受検者はこの範囲に収まっています。
【要確認:実測値】
1分30秒を超える場合は、計算ではなく「どのパターンか」で迷っていることが多いため、練習問題を解くたびにパターン名を書き添える練習を優先してください。

まとめ

SPI場合の数のポイントは、次の3点です。

• 公式は順列nPr(並べる)と組み合わせnCr(選ぶ)の2つ。入れ替えて別物になるかで見分ける
• 頻出パターンは隣り合う・少なくとも・円順列・同じもの・グループ分け・経路・支払い・整数の8つ
• 「少なくとも」は余事象、迷ったら小さい数で書き出して検算する

確率は「条件を満たす場合の数÷すべての場合の数」なので、場合の数が数えられればそのまま解けます。
場合の数と確率は、損益算と並んで最も短期間で伸ばせる非言語の単元です。
残り日数が少ない人ほど、推論より先にここを固めてください。

SPI全体の対策手順は「SPI対策の始め方」を、他形式も含めた全体像は「Webテスト対策の完全ガイド」を参考にしてください。